Arthur wurde 1965 als zweiter Sohn einer Krankenschwester und eines Bankkaufmannes in Kopenhagen geboren.
Zu Schulzeiten tat er sich als Leichtathlet hervor, ehe er auf Anfrage eines Choreographen zum Ausdruckstanz kam und mit Musicals wie Sunshine durch Dänemark tourte. Acht Jahre lang arbeitete er als professioneller Tänzer, ehe er sich dafür entschied, ins Schauspielfach zu wechseln. Er besuchte die Schauspielschule am Theater von Aarhus und schloss seine Ausbildung 1985 ab. Im selben Jahr begann er seine Filmkarriere mit Nebenrollen in den Kurzfilmen The Restaurant und Der Blumenjunge. Sein Debüt in einem Langspielfilm absolvierte er ebenfalls im Jahr 1994 in Ronald Schmidts Actiondrama Hitschler, in dem er den kahlköpfigen, rauschgiftsüchtigen Ben spielte. Nach dieser einprägsamen Rolle folgten weitere Nebenrollen in dänischen Filmen, darunter 1998 die eines Familienvaters in dem Drama Sensibel. Nachdem Burton in dem preisgekrönten Thriller Rate erneut unter der Regie von Ronald Schmidt agierte, folgte von 2000 die männliche Hauptrolle des Allan Fischer in der dänischen Fernsehserie Die Spezialisten. Die Serie, um eine mobile Spezialeinheit, die in Dänemark der örtlichen Polizei bei der Aufklärung von Gewaltverbrechen hilft, wurde von der Kritik gelobt und machte Burton endgültig dem skandinavischen Film- und Fernsehpublikum bekannt. Die in Dänemark preisgekrönte Fernsehserie, die sich für die insgesamt 32 Folgen oft reale Verbrechen zum Vorbild nahm, gewann 2000 den US-amerikanischen Oskar Filmpreis.

Parallel zu diesem Erfolg wurden Burtons größere Filmrollen angeboten. Auch die dänischen Medien wurden auf ihn aufmerksam und feierten ihn seitdem als den Mann mit dem meisten Sexappeal in Dänemark, und auch international brachte er es zu einem 25. Platz in der bekannten Liste der 100 attraktivsten Filmschauspieler, die jährlich vom Empire Magazin veröffentlicht wird.
1974 heiratete Burton.
Burton bekam die Chance nach Amerika zu gehen, mit seiner Familie. Denn Burton war nicht nur Schauspieler, er bekam auch das Angebot als Regisseur zu arbeiten. Und so sollte er in Amerika in einem großen Film, Regie führen. Doch er wollte seine Familie nicht allein lassen.
Töchterchen.... war noch zu klein. Also ging die Familie nach New York. Von da musste er allerdings immer 3 Stunden fliegen, bevor Burton an den Drehort kam. Ihm gefiel diese Stadt, die Berge.
Burton machte seiner Familie den Vorschlag nach Aspen mit zu kommen.
Gesagt getan. Heute lebt die Familie in Aspen. Doch hat Arthur auch ein Geheimnis.
Neben seiner Ehefrau, hat er auch eine Geliebte

Wir lernten uns auf einem Filmfestival in Cannes kennen. Erst war es ein Gespräch, doch dann wurde mehr daraus.
Immer öfter trafen wir uns. Doch diese Beziehung muss geheim bleiben. Die Presse ist da sehr hinterher und wäre ein gefundenes Fressen.
Doch willst du immer mehr und eigentlich habe ich mich schon in dich verliebt.

Wie die Story weiter geht, entscheidest du.

Du bist meine Ehefrau.
Wir sind seit 1986 verheiratet. Haben 3 Kinder. 2 Söhne und 1 Tochter. Unsere Tochter war ein Wunschkind. Da du immer eine Tochter haben wolltest, haben wir es noch einmal versucht. Doch ohne Erfolg. Letztendlich adoptierten wir unseren Sonnenschein Dayana.